Расчет статически неопределимого стержня на кручение. Кручение статически неопределимого стержня. Свободное кручение тонкостенных стержней

Расчётная схема и эпюры

Решение

Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. . Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .

По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):

При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на и G и получим

Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .

Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения

Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении

J (5)

Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение берётся из таблицы.

Формула (5) даёт результат

J . (6)

Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому

(7)

Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)

Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем

После преобразований уравнение принимает вид

14,89 M B = 17,78.

Отсюда имеем

M B = 1,194кНм.

Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.

Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.

Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.

Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:

Отсюда имеем

Сечение 2–2

Сечение 3–3

кНм.

По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности

(8)

Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле

Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:

Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение взято из таблицы.

Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:

(9)

(10)

(11)

Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.

Допускаемое касательное напряжение

Как было отмечено ранее, статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения –уравнения совместности деформаций или перемещений. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним на следующем примере.

Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и нагруженный моментом М Х, действующим в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).

В этом случае в заделках могут возникать только опорные моменты М А и М В относительно продольной оси, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций показываются произвольно.

Статическая сторона задачи для определения этих неизвестных дает только одно уравнение равновесия:

(6.20)

Получили одно уравнение с двумя неизвестными, значит степень статической неопределимости данной задачи равна единице. Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи, т.е. составим условие совместности деформаций: полный угол закручивания сечения правого конца бруса (сечения В) по отношению к левому защемленному концу равен нулю, т.е.

Полный угол закручивания
равен сумме углов закручивания двух участков:

(6.21)

Физическая сторона задачи . Углы закручивания отдельных участковиопределим по формуле (6.11):

(6.22)

В этих формулах выражения для М t 1 иM t 2 записываем по методу сечений, рассматривая правую отсеченную часть:

M t1 = M B – M X ; M t2 = M B . (6.23)

Подставляя выражения (6.22) с учетом (6.23) в уравнение (6.21), получим:

Отсюда при
имеем:

В случае
и
получаем

(6.24)

ПРИМЕР 6.3

Брус, изображенный на рис. 6.8а, защемлен с двух концов:

Требуется:

– определить реакции опор и построить эпюры крутящих моментов;

– подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения;

– построить эпюру углов закручивания сечений.

А. Раскрытие статической неопределимости

и построение эпюры крутящих моментов

1. Статическая сторона задачи.

Здесь М А и М В – опорные реакции в заделках, действующие в плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление выбрано произвольно.

Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных, т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим условие совместности деформаций отдельных участков.

Определим полный угол закручивания правого концевого сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяется как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю.

3. Физическая сторона задачи.

Используем закон Гука при кручении для определения  i:

В отличие от рассмотренных ранее круглых стержней, кручение стержней некруглой поперечной формы обладает особенностями. Основная из них – депланация . Это явление того, что сечения перестают быть плоскими, депланируют. Формулы, основанные на гипотезе плоских сечений, теряют силу. Возникают нормальные напряжения.

Различают свободное и стеснённое кручение. Свободным называют такое кручение, при котором депланация постоянна по длине стержня и её можно характеризовать величиной перемещения в осевом направлении. Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стеснённым кручением . В этом случае возникает особый вид внутреннего усилия – бимомент, влияющий на распределение нормальных и касательных напряжений по сечению.

Стержни с некруглым поперечным сечением могут быть различны (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Стержни с некруглым поперечным сечением: а) толстостенные; б) тонкостенные замкнутого и открытого профиля

Толстостенными называют стержни, имеющие размеры различных элементов сечения соизмеримые с размерами самого сечения. Деформация толстостенных стержней имеет сложный характер, задачи о кручении таких стержней решаются аналитически или численно методами теории упругости.

Тонкостенными называют стержни, у которых длина контура поперечного сечения намного больше толщины сечения.

Расчёт тонкостенных стержней открытого и замкнутого профиля на стеснённое кручение изучается в теории тонкостенных стержней, разработанной проф. В.З. Власовым.

Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном.

При кручении прямоугольного поперечного сечения наибольшее напряжение возникает посредине длинной стороны контура (рис. 11.2). Для его вычисления используют формулу (11.1).

Здесь W t =αhb 2 - момент сопротивления при кручении, α – коэффициент Сен-Венана, h и b размеры прямоугольного сечения (рис. 11.2).

Угол закручивания грузового участка длиной l c постоянным внутренним усилием находится по формуле (11.2)

Здесь I t =βhb 3 - момент инерции при кручении, β – коэффициент Сен-Венана.

Эп. τ[МПа]

Рис. 11.2. Эпюра касательных напряжений

Коэффициенты Сен-Венана α, β, γ определяются с помощью таблицы 11.1 в зависимости от отношения h/b .

Таблица 11.1

h/b
α	0,208	0,246	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,140	0,229	0,263	0,281	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,000	0,795	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742	0,742

Расчёт различных некруглых поперечных сечений на прочность и жёсткость выполняется аналогично изложенному в предыдущей лекции. С помощью условий прочности и жёсткости решаются задачи с целью подбора размеров поперечного сечения, определения допустимой нагрузки и проверки выполнения условий. В зависимости от профиля поперечного сечения по разному определяются геометрические характеристики поперечного сечения, фигурирующие в формулах для вычисления напряжений и перемещений. (Посмотреть эти формулы самостоятельно по учебнику).

Решение статически неопределимых задач при кручении . Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми , если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью только одних уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня. Алгоритм решения аналогичен изложенному в теме осевое растяжение–сжатие.

В случае постоянной жёсткости стержня удобно применять для решения статически неопределимых задач метод начальных параметров (ознакомиться с этим методом самостоятельно).

Задачи могут быть несколько раз статически неопределимыми. Рассмотрим один раз статически неопределимые задачи.

Рис. 11.3. Статически неопределимые стержни при кручении

а) Раскрытие статической неопределимости

∑ m X = 0; М А - М + М В n st

Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I + φ II = 0 (2).

М t =const можно представить в виде: (3). Подставим (3) в (2): . (4)

Запишем уравнения крутящих моментов на грузовых участках, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t ,I = М В - const, М t ,II = М В - М – const. При равенстве жесткостей на грузовых участках уравнение (4) примет вид:

М В

б) Раскрытие статической неопределимости

1. Рассмотрим статическую сторону задачи

Составим уравнение равновесия:

∑ m X = 0; М А + ml – М В = 0 (1), найдем степень статической неопределимости как разницу между неизвестными опорными реакциями и количеством уравнений статики n st = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая и для раскрытия статической неопределимости требуется еще одно уравнение.

2. Рассмотрим геометрическую сторону задачи

Перемещение (угол закручивания) точки В (жесткая заделка) невозможно, тогда это перемещение можно представить как сумму углов закручивания грузовых участков φ В = φ I = 0 (2).

3. Рассмотрим физическую сторону задачи

Угол закручивания на грузовом участке длиной, где М t описывается линейным уравнением можно представить в виде:

(3). Подставим (3) в (2): . (4)

Запишем уравнение крутящих моментов на грузовом участке, рассматривая при этом равновесие правой части, содержащей опорную реакцию М В : М t , I = - М В + mx , подставим уравнение внутреннего усилия в (4):

Решим полученное уравнение относительно одного неизвестного М В . Далее задача решается как статически определимая.

Расчёт стержней при кручении по предельному состоянию. Рассмотрим распределение касательных напряжений в поперечном сечении круглого стержня, выполненного из упругопластического материала, подчиняющегося идеализированной диаграмме Прандтля (рис. 11.4).

Рис. 11.4. Диаграмма Прандтля

τ max < τ s τ max = τ s . τ s τ s

M t = τ s W ρ Упругое ядро Пластический шарнир

(M t , lim )

Рис. 11.5. Распределение касательных напряжений в поперечном сечении

При углах сдвига γ ≤ γ s материал подчиняется закону Гука, т.е. τ = G γ, при γ = γ s касательное напряжение достигает предела текучести τ s , при γ > γ s материал «течёт» при постоянном напряжении τ = τ s . На этом заканчивается чисто упругая стадия работы (рис. 11.5 б) и момент достигает опасного значения. При дальнейшем увеличении крутящего момента эпюра напряжений приобретает вид, приведённый на рис. 11. 5 в. При увеличении крутящего момента упругое ядро уменьшается, и текучесть материала происходит по всему сечению, наступает состояние предельного равновесия, соответствующее максимуму несущей способности стержня. Для сплошного круглого сечения в случае, представленном на рис. 11. 5 г грузоподъёмность стержня повышается на 33% по сравнению с грузоподъёмностью, вычисленной для ситуации приведённой на рис. 11. 5 г.

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Пример № 1

Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (см. рис.), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение.

Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты М А и М В . Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или

М А + М В + М = 0.(1)

Уравнение содержит две неизвестные величины: М А и М В . Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. б ). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле , углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а для участка длиной b где T a и T b – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

(2)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Т а и Т b :

Т а = М А ,Т b = М В .

Подставив эти значения моментов в уравнение (2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель , получим

.(3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. в ).

Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с = const : суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Пример № 2

Построить эпюры крутящих моментов Т , абсолютных и относительных углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (см. рис.).

Решение.

Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. б . Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. в . Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:

Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М . Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. а ) не поворачивается . Приложим к статически определимому стержню крутящий момент М В (рис. г ) и определим угол поворота правого торца только от действия момента М В , используя эпюру крутящего момента (рис. д ),

Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:

Из этого условия находимМ В = М /6. Крутящий момент М В будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,

М В = М 4 .

Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр и (рис. е ).

Приступаем к построению эпюры углов закручивания , для чего вычисляем по формуле углы закручивания для каждого участка

а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:

Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:

Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис.ж ).

Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис.з ) необходимо предварительно вычислить

где принято следовательно,

Определим необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М = 20 кНм, расчетное сопротивление материала стержня на срез R s = 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания , а модуль сдвига G = 8·10 4 МПа.

Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d 1 , а в пределах участка III – d 4 . Согласно условию задачи между d 1 и d 4 , существует соотношение (рис. а ):

и , тогда откуда

Кроме того,

Необходимый диаметр d 1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле , взяв значение крутящего момента из эпюры Т , представленной на рис. е :

Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III :

Необходимый диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле :

Сравнивая результаты, принимаем окончательно d 1 =13 см, d 4 =11 см, определенные из условия жесткости.

Диаметр d 4,жестк можно определить также, используя эпюру (рис. з ), из которой видно, что на участке I , поэтому приравнивая

находим и, наконец, определяем

Пример № 3

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. а). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил M 1 и M 2 , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков l 1 , l 2 , l 3 .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение.

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

Убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или.

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, ,.

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений на каждом участке вала:

; ;.

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записатьусловие прочности . Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу , радиусы вала на каждом участке.

;;.

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле . Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце валаВид эпюры углов закручивания показан на рис. в .

ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, , .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:

; ; .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

; ,

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

; ; .

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .

Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.

Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.

Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .

При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.

Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.